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椭圆的标准方程的推导

椭圆的标准方程是怎么推导出来的？ - 知乎 (zhihu.com)

根据椭圆定义，现有两点 $(c,0)$ $(-c,0)$ ，平面上有一点A，A到这两点的距离之和为2a，其中a>c。求A点的轨迹。

根据题意，得到下面方程：

$\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}=2a$ (1)

两侧同时乘以 $\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}-\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}$ ，得到下面这个方程：

$\frac{2cx}{a}=\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}-\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}$ (2)

(1)+(2)得

$2a+\frac{2cx}{a}=2\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}$

两侧平方，得

$a^{2}+2cx+\frac{x^{2}c^{2}}{a^{2}}=(x+c)^{2}+y^{2}$

记 $b^{2}=a^{2}-c^{2}$ ，移项后得到

$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ $(a>b>0)$